2013年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y，x，y∈P}，则集合Q为（ ）
A．{1，2，3}
B．{2，3，4}
C．{3，4，5}
D．{2，3}

2. 难度：中等

复数z=（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．1
B．i
C．-2i
D．-2

3. 难度：中等

某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎 叶图如图所示．在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是（ ）

A．93
B．92
C．91
D．90

4. 难度：中等

已知，则tanx的值是（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3

5. 难度：中等

函数f（x）=a^x（a＞1）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，若 sinA-sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（ ）
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，SA丄平面ABC，SA=3，AC=2，AB丄BC，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n=a_n-1+n（n≥2，n∈N）．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个 面上的点数分别为1，2，3，4，5，6．将这颗骰子连续抛掷两次，得到的点数分别记为a，b则满足集合{a，b}={a₁，a₂}（1≤a_i≤6，a_i∈N，i=1，2）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为    ．

12. 难度：中等

已知某算法的程序框图如图所示，当输入x的值为13 时，则输出y的值为    ．

13. 难度：中等

当x＞l时，log+log的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=-，则cosα+cosγ=    ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，且AH=1，G为△ABC的 重心，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，设．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当，时，求函数f（x）的最大值及最小值．

17. 难度：中等

如图，矩形 ABCD 中，BC=2，AB=1，PA丄平面 ABCD，BE∥PA，BE=PA，F 为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）记四棱锥C一PABE的体积为V₁，三棱锥P-ACD的 体积为V₂，求的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=
（I）解关于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判断函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零点个数，并说明理由．

19. 难度：中等

某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该 产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N^*）的函数关系式；
（说明：销售利润=实际销售收人一成本）
（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u（x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N^*，问年产量X为多少百台时，工厂所得纯利润最大？

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=1，求函数h（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h （x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数：y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使线段AB的中点的横坐标x与直线AB的斜率k之间满足k=f′（x）？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．