2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x||x-1|＜2}，，则A∩B=（ ）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（1，3）
D．（-1，3）

2. 难度：中等

设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S_n}有最大项”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

△ABC中，=（cosA，sinA），=（cosB，-sinB），若•=，则角C为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知，则展开式中的常数项为（ ）
A．20
B．-20
C．-15
D．15

5. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数
B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数
C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数
D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数

7. 难度：中等

一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=6
B．y²=3
C．y²=12
D．

9. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，3]
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

12. 难度：中等

设点P在曲线y=e^x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若复数z=1+i，则=    ．

14. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知平面区域Ω=，直线l：y=mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知正项数列满足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．