《空间几何体》2013年高三数学一轮复习单元训练（浙江大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

ABCD是正方形，PA⊥平面AC，且PA=AB，则二面角B-PC-D的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°

2. 难度：中等

如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

A．4
B．8
C．16
D．20

3. 难度：中等

已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

4. 难度：中等

m和n分别是两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是（ ）
A．可能垂直，但不可能平行
B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．既不可能垂直，也不可能平行

5. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ  
③若m∥α，n∥α，则m∥n  
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

7. 难度：中等

对于四面体ABCD，给出下列命题：
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

点P（1，4，-3）与点Q（3，-2，5）的中点坐标是（ ）
A．（4，2，2，）
B．（2，1，1，）
C．（2，-1，2，）
D．（4，-1，2，）

9. 难度：中等

把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

10. 难度：中等

在棱柱中（ ）
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行

11. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F分别为棱DD₁、BB₁上的动点，且BF=D₁E，设EF与AB所成角为α，EF与BC所成的角为β，则α+β的最小值为（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．无法确定

12. 难度：中等

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ）
A．8πcm²
B．12πcm²
C．16πcm²
D．20πcm²

二、填空题

13. 难度：中等

如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G为AE的中点，若，，分别记为，，，则用，，表示的结果为=    ．

14. 难度：中等

已知，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁到面ABCD的距离为    ．

16. 难度：中等

已知A（-1，0），B（2，1），C（1，-1）．若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后∠BAC的余弦值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M为AB的中点．
（1）求证：BC∥平面PMD；
（2）求证：PC⊥BC；
（3）求点A到平面PBC的距离．

19. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFC⊥平面BCD；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B-ADC的体积．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥A-PDE的体积；
（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

22. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．