2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，集合B={y|y=x²，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．ϕ
B．[0，+∞）
C．[1，+∞）
D．[-1，+∞）

2. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c，若x满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，f（x）≤f（x）
B．∃x∈R，f（x）≥f（x）
C．∀x∈R，f（x）≤f（x）
D．∀x∈R，f（x）≥f（x）

3. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，=（ ）
A．1l
B．5
C．-8
D．-11

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤10
B．i≤9
C．i＜10
D．i＜9

6. 难度：中等

将函数向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞O）的直线与椭圆交于A，B两点，若=3，则k=（ ）
A．1
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

向一个边长为的正三角形内随机投一点P，则点P到三边的距离都不小于1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知点P是双曲线左支上的一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，双曲线离心率为e，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数的虚部是    ．

14. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为    元．

15. 难度：中等

△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为BC边上一动点，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，首项与公差均为非负整数，且满足，则a₃+2a₂的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（II ）求函数f（x）在区间的取值范围．

18. 难度：中等

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，K是AC中点，点P在直线A₁B₁上，且满足
（Ⅰ）求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）求三棱锥P-MNK的体积．

20. 难度：中等

已知：圆O₁过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O₁的轨迹为C，过一点A（l，1）作直线l，直线l与曲线C交于不同两点M、N，分别在M、N两点处作曲线C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂的交点为K．
（I）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：直线l₁，l₂的交点K在一条直线上，并求出此直线方程．

21. 难度：中等

已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（I）求证：AD∥EC；
（II）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为若曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|2x-3|-a．
（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0的解集；
（II ）若f（x）≥O恒成立，求a的取值范围．