2013年安徽省江南十校开年第一考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若U={a，b，c，d，e}，M={a，b，c}，N={b，c，d}，则∁_U（M∪N）=（ ）
A．{a，b，c}
B．{a，e}
C．{a}
D．{e}

2. 难度：中等

复数的实部和虚部分别为（ ）
A．和
B．和-
C．-和
D．和-

3. 难度：中等

已知实数x、y满足，则z=x-3y的最大值为（ ）
A．1
B．-5
C．-1
D．-3

4. 难度：中等

执行如图的框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（ ）

A．
B．-1或
C．-1
D．或

5. 难度：中等

直线被圆C：x²+y²-2x-4y-4=0截得的弦长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8

6. 难度：中等

在[0，2π]内，使sin2x＞sinx的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

双曲线的右焦点和抛物线y²=2px的焦点相同，则p=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

8. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a、b的等比中项是1，且，则m+n的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

如图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎叶图，用，、分别表示甲乙得分的平均数，则下列说法正确的是（ ）

A．＞且甲得分比乙稳定
B．=且乙得分比甲稳定
C．=且甲得分比乙稳定
D．＜且乙得分比甲稳定

10. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-x-c，且f（x）＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（-x）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x_o∈R，1gx_o＜1”的否定是    ．

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈[-1，1]时，有f（x）=|x|，则函数y=f（x）-1og₅|x|零点的个数为    ．

14. 难度：中等

已知直线m，n平面a，β，且m∥a，n⊥β，给出下列四个命题：①a∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则a∥β；③若a⊥β，则m⊥n；④m∥n，则a⊥β．其中正确命题的序号为    ．

15. 难度：中等

已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足是线段AB和OC的交点，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的面积为1，BC=2．设∠A=θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域．

17. 难度：中等

一个社会会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查．
（Ⅰ）在[2500，3000]（元）段应轴出多少人？
（Ⅱ）若月收入为4500元的人中有两名高级工程师，从这5人中任取两人进行“幸福指数”问卷调查，求抽取的两人中至少有一名工程师的概率．

18. 难度：中等

如图，△CDE中∠CDE=90°，平面CDE外一条线段AB满足AB∥DE，AB=DE，AB⊥AC，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）若AC=AD，证明：AF⊥平面CDE．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，左、右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在两点A和B关于直线y=2x+m对称，求实数m的范围．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且{a_n}、{b_n}满足条件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范围；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和V_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=1nx-ax．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为1，求a的值；
（Ⅱ）设l是函数f（x）=1nx-ax图象上任意一点的切线，证明：函数f（x）=1nx-ax的图象除该点外恒在直线l的下方．