2012-2013学年江苏省苏北老四所县中高三（下）第一次调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-y）i-y=-1+i，则x+y=    ．

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃•a₉=2a₅，a₂=1，则a₁=    ．

3. 难度：中等

用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s=    ．

4. 难度：中等

阅读下列算法语句：
Read  S←1
For  I  from  1  to  5  step 2
S←S+I
End for
PrintS
End
输出的结果是    ．

5. 难度：中等

当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax-By=0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是    ．

6. 难度：中等

已知正方形ABCD的坐标分别是（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1），动点M满足：则MA+MC=    ．

7. 难度：中等

过平面区域内一点P作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα=    ．

8. 难度：中等

设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是    ．

9. 难度：中等

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=（a，b，c∈R）（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a+b+c=    ．

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，则f（2012）的值为    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-a，若存在x∈[-1，]（a＞0），使得f（x）＜g（x），则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，则a₁=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且．
（1）求cos2θ；
（2）求sin（α+β）的值．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

17. 难度：中等

某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x月的销售量g（x）= （单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e⁶≈403）

18. 难度：中等

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

19. 难度：中等

已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数图象上的两点，且，点P、A、B共线，且
（1）求P点坐标
（2）若，求S₂₀₁₁
（3）若，记T_n为数列前n项的和，若时，对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

20. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

21. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为（其中α为参数），M是曲线C₁上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C₂，直线l 的方程为ρsin（θ+）=，直线l 与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的普通方程；
（2）求线段AB的长．

23. 难度：中等

如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）
（1）求；
（2）求E（X）

24. 难度：中等

如图，过抛物线C：y²=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．