2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=（ ）
A．{0}
B．{0，3}
C．{1，3，9}
D．{0，1，3，9}

2. 难度：中等

若，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．-1
D．-2

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）

A．n＞6？
B．n≥7？
C．n＞8？
D．n＞9？

4. 难度：中等

若双曲线的渐近线与抛物线y=x²+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（3，+∞）
C．（1，3]
D．（1，3）

5. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有（ ）
A．10种
B．12种
C．18种
D．36种

7. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

8. 难度：中等

点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点，则的取值范围是（ ）
A．[-1，-]
B．[-，-]
C．[-1，0]
D．[-，0]

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，计算=    ．

10. 难度：中等

若直线l与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是（1，-2），则直线L的倾斜角为    ．

11. 难度：中等

如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，则tan∠COP=    ，△OBC的面积是    ．

12. 难度：中等

某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买    吨．

13. 难度：中等

将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是    ．

14. 难度：中等

数列{2ⁿ-1}的前n项1，3，7，…，2ⁿ-1组成集合，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．则当n=3时，S₃=    ；试写出S_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=．
（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；
（Ⅱ）若，求b的值．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级	A	B	C	D	E
成绩（分）	90	70	60	40	30
人数（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

18. 难度：中等

已知函数，g（x）=x²e^ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m＞0时，若对任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B₁，B₂，且=-a．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求的取值范围．

20. 难度：中等

已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记．
（Ⅰ）求及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．