2013年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

设集合A={x|2^x≤4}，集合B为函数y=lg（x-1）的定义域，则A∩B=（ ）
A．（1，2）
B．[1，2]
C．[1，2）
D．（1，2]

3. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．则成绩在[80，100]上的人数为（ ）

A．70
B．60
C．35
D．30

5. 难度：中等

设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x²g（x）的部分图象可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

运行如图框图输出的S是254，则①应为（ ）

A．a≤5
B．a≤6
C．a≤7
D．a≤8

7. 难度：中等

在约束条件下，目标函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（ ）

A．-3
B．0
C．-1
D．1

9. 难度：中等

定义，若函数，则将f（x）的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．x=π

10. 难度：中等

已知，满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（ ）
A．
B．3
C．
D．4

12. 难度：中等

已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直，则曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为    ．

15. 难度：中等

在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率为    ．

16. 难度：中等

现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．
（I）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满，求c的值．

18. 难度：中等

为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．
（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；
（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的慨率．

19. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P．
（ I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成等差数列{b_n}，S_n是{b_n}的前n项和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）设，求T_n．

21. 难度：中等

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．
（ I ） 求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ） 若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

22. 难度：中等

设函数，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．