2013年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8} P={3，4，5}  Q={1，3，6} 那么集合{2，7，8}是（ ）
A．P∪Q
B．P∩Q
C．∁_uP∪∁_uQ
D．∁_uP∩∁_uQ

2. 难度：中等

下列命题：①∀x∈R，x²≥x；②∃x∈R，x²≥x；③4≥3；④“x²≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠-1”．其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知f（x）=则f（2009）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）
A．32
B．0.2
C．40
D．0.25

5. 难度：中等

如图是计算+…+的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（ ）

A．i＜8
B．i＜9
C．i＜10
D．i＜11

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+2）lnx+2008x-2009，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实根（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（2，4）

7. 难度：中等

已知sin（+α）=，则cos（-2α）的值等于（ ）
A．-
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

9. 难度：中等

设数列{}是等差数列，且a₂a₄+a₄a₆+a₆a₂=1，a₂a₄a₆=，则a₁₀=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-1或

10. 难度：中等

如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm的圆（圆心在矩形对角线交点处）．把一枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与该圆相碰的概率为    ．

14. 难度：中等

已知点A（3，），O为坐标原点，点P{x，y}满足，则的最大值是     ．

15. 难度：中等

已知实数列{a_n}中，a₁=1，a₆=32，a_n+2=，把数列{a_n}的各项排成，如图所示的三角形状，记A（m，n）为第m行从左起第n个数，则A（12，5）=    ．

16. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，E为棱AA₁的中点，一直线过E点与异面直线BC，C₁D₁分别相交于M，N两点，则线段MN的长等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且4sin2-cos2A=．
（1）求∠A；
（2）若a=7，△ABC的面积为10，求b+c的值．

18. 难度：中等

某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．

19. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，DEF分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求E到平面AB₁F的距离．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-2k²+4，若f（x）的单调减区间为（0，4）．
（1）求k的值；
（2）对任意的t∈[-1，1]，关于x的方程2x²+5x+a=f（t）总有实根，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．