2012年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学模拟最后一卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，集合B={x|log₂（x-2）＜1}，则A∩∁_UB=（ ）
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|-1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|-1≤x≤1}

3. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．命题“若x²+y²=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x²+y²≠0”
B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位
C．已知ξ服从正态分布N（0，O^-2），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2
D．若向量a，b满足a•b＜0，则a与b的夹角为钝角．

4. 难度：中等

投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

椭圆=1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A₁点在平面B₁A₂B₂上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

6. 难度：中等

已知G是△ABC的重心，且，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosc=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2

8. 难度：中等

执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（ ）
A．12
B．6
C．3
D．0

9. 难度：中等

已知实数x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）
B．（-∞，-4]∪[4，+∞）
C．（-∞，0]∪[4，+∞）
D．不能确定

10. 难度：中等

已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

11. 难度：中等

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为（ ）
A．
B．2π
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（ ）
A．f（1）＞e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
B．f（1）＜e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
C．f（1）＞e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）
D．f（1）＜e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是    ．

14. 难度：中等

已知数列，首项，若二次方程的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=    ．

15. 难度：中等

（x²+3x+2）⁵的展开式中x的系数是    ．

16. 难度：中等

某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数（ω＞0）的最小正周期为3π，
（Ⅰ）当 时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

18. 难度：中等

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；
（Ⅱ）记ξ表示两天空气中空气质量为二级的天数．求ξ的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（ II）求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

已知函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为．
（Ⅰ）求a的值；
（ II）设函数问：函数y=g（x）是否存在最小值点x？若存在，求出满足x＜m的整数m的最小值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率为．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设==λ，试求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为 （a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M（1，）对应的参数φ=，曲线C₂过点D（1，）．
（I）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（II）若点A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+） 在曲线C₁上，求的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲．
已知函数（e≈2.718…）
（ I）若x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂．求证：；
（ II）若满足f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）．试求实数a的取值范围．