2013年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁，z₂在复平面内对应的点分别为A（0，1），B（-1，3），则=（ ）
A．-1+3i
B．-3-i
C．3+i
D．3-i

2. 难度：中等

已知集合A={x|y=log₂（x+1）}，集合，则A∩B=（ ）
A．（1，+∞）
B．（-1，1）
C．（0，+∞）
D．（0，1）

3. 难度：中等

在四边形ABCD中，“，且”是“四边形ABCD是菱形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称

5. 难度：中等

一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）示（单位：cm）则该组合体的体积为．（ ）

A．72000cm³
B．64000cm³
C．56000cm³
D．44000cm³

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足，a₁＞0，5a₈=8a₁₃，则前n项和S_n取最大值时，n的值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23

7. 难度：中等

如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

计算：=    ．

10. 难度：中等

若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x⁶的系数为    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

x	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
y	141	146	154	160	169	176	181	188	197	203

一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据（单位均为cm）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：，；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm，则估计案发嫌疑人的身高为     cm．

12. 难度：中等

已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y²=8x的焦点，则圆C的方程为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对任意的x₁、x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为“非减函数”．设函数g（x）在[0，1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：
（1）g（0）=0；
（2）；
（3）g（1-x）=1-g（x），
则g（1）=    、=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C₁：和曲线C₂：，则C₁上到C₂的距离等于的点的个数为    ．

15. 难度：中等

如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．若CB=2，CE=4，则⊙O 的半径长为    ；AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

17. 难度：中等

根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试．已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止．设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．
（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望；
（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率．

18. 难度：中等

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥DE；
（3）当AD多长时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°？

19. 难度：中等

如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l₁，l₂均与椭圆C相切，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数为常数），数列{a_n}满足：，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当α=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对∀n∈N*有：；
（3）若α=2，且对∀n∈N*，有0＜a_n＜1，证明：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）试讨论函数g（x）的单调性；
（3）证明：对任意n∈N^*，都有ln（1+n）＞成立．