2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，，则∁_UA=（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0）
C．（0，+∞）
D．（-∞，0]

2. 难度：中等

若（1+2ai）i=1-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知点A（-1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（ ）
A．（7，4）
B．（7，14）
C．（5，4）
D．（5，14）

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，首项a₁=0，公差d≠0，若a_m=a₁+a₂+…+a₉，则m的值为（ ）
A．37
B．36
C．20
D．19

5. 难度：中等

一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）

A．7
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．36

8. 难度：中等

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若点（a，-1）在函数的图象上，则的值为    ．

10. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是    ．

11. 难度：中等

某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，50²），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=4|a|x-2a+1．若命题：“∃x∈（0，1），使f（x）=0”是真命题，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．

17. 难度：中等

某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；
（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求最小的自然数n，使a_n≥2013．

19. 难度：中等

在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

20. 难度：中等

如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且，求△GOH面积的最小值；
（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设函数在上的最大值为a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对任意n∈N^*（n≥2），都有成立．