2013年广东省江门、佛山市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知M={x|-2≤x≤4，x∈Z}，N={x|-1＜x＜3}，则M∩N=（ ）
A．（-1，3）
B．[-2，1）
C．{0，1，2}
D．{-2，-1，0}

2. 难度：中等

已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若a₃+a₁₁=24，a₄=3，则{a_n}的公差是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6

4. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80

5. 难度：中等

函数f（x）=sin，x∈[-1，1]，则（ ）
A．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减
B．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增
C．f（x）为奇函数，且在[-1，0]上单调递增
D．f（x）为奇函数，且在[-1，0]上单调递减．

6. 难度：中等

下列命题中假命题是（ ）
A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行

7. 难度：中等

直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个

8. 难度：中等

将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）的值域为[0，2]；
②f（x）是周期函数；
③f（-1.9）＜f（π）＜f（2013）；
④．
其中正确的说法个数为（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

命题“∃x∈R，≤0”的否定是    ．

10. 难度：中等

已知向量，满足，（-）⊥，向量与的夹角为    ．

11. 难度：中等

（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，则n等于    ．

12. 难度：中等

已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为    ．

13. 难度：中等

将集合{2^s+2^t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为b_ij（i≥j＞0），则b₆₅=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C₁：ρ=2sinθ与C₂：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B点横坐标为，求S_△AOB．

17. 难度：中等

市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．

（1）求李生小孩按时到校的概率；
（2）李生是否有七成把握能够按时上班？
（3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求ξ的均值．

18. 难度：中等

如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD，如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使点A₁在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）证明：A₁E∥平面CD₁F；
（2）求平面BEFC与平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系内，动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹C₂的方程；
（2）中心在O的椭圆C₁的一个焦点为F，直线l过点M（4，0）．若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C₂上，且直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长取得最小值时的椭圆方程．

20. 难度：中等

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，
及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f（x）与时间x（小时）的关系可近似地表示
为：f（x）=，只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g（x），求g（x）的函数式及水中碱浓度的最大值．（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）

21. 难度：中等

设函数，记f（x）的导函数f'（x）=f₁（x），f₁（x）的导函数f'₁（x）=f₂（x），f₂（x）的导函数f'₂（x）=f₃（x），…，f_n-1（x）的导函数f'_n-1（x）=f_n（x），n=1，2，…．
（1）求f₃（0）；
（2）用n表示f_n（0）；
（3）设S_n=f₂（0）+f₃（0）+…+f_n+1（0），是否存在n∈N^*使S_n最大？证明你的结论．