2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于任意向量、、，下列命题中正确的是（ ）
A．|•|=||||
B．|+|=||+丨丨
C．= 
D．•=||²

2. 难度：中等

直线y=kx+1与圆x²+y²-2y=0的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．取决于k的值

3. 难度：中等

若1-i（i是虚数单位）是关于x的方程x²+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，则p+q=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数的一个对称中心是，则ω 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

6. 难度：中等

一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
A．
B．π
C．
D．4π

7. 难度：中等

某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万 元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年 限（即使用多少年的年平均费用最少）是（ ）
A．8 年
B．1O 年
C．12 年
D．15 年

8. 难度：中等

记实数x₁，x₂，…，x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…，x_n}则max{min{x+1，x²-x+1，-x+6}}=（ ）
A．
B．1
C．3
D．

二、填空题

9. 难度：中等

某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 2：3：4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n=    ．

10. 难度：中等

已知α为锐角，且，则sinα=    ．

11. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成    个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x，点集 M={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则M∩N所构成平面区域的面积为    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k-1 个2，即数列{a_n} 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 {a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀=    ； S₂₀₁₃=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交 BC于点F，则的值为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin²θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求点O到直线BC的距离．

17. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

18. 难度：中等

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．

（1）求证：A₁D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

巳知a＞0，设命题p：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同 的交点；命题q：g（x）=|x-a|-ax在区间（0，+∞）上有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

21. 难度：中等

设a_n是函数f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零点．
（1）证明：0＜a_n＜1；
（2）证明：．