2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷10（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={x∈N|0＜x≤8}，S={1，2，4，5}，T={3，5，7}，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{1，2，4}
B．{1，2，3，4，5，7}
C．{1，2}
D．{1，2，4，5，6，8}

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，a为实数，复数z=（a-2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设x，y满足则z=x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

4. 难度：中等

某甲上大学前把手机号码抄给同学乙．后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复．则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

6. 难度：中等

已知：m，l是直线，α，β是平面，给出下列四个命题：
①若l垂直于a内的两条直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l行于α内的所有直线；
③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；
④若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

设函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁²＜x₂²

8. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（ ）
A．-12
B．-2
C．0
D．4

9. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若，且它的前n项和S_n有最小值，那么当S_n取得最小正值时，n=（ ）
A．18
B．19
C．20
D．21

10. 难度：中等

曲线x²+y²-ay=0与ax²+bxy+x=0有且只有3个不同的公共点，那么（ ）
A．（a⁴+4ab+4）（ab+1）=0
B．（a⁴-4ab-4）（ab+1）=0
C．（a⁴+4ab+4）（ab-1）=0
D．（a⁴-4ab-4）（ab-1）=0

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

12. 难度：中等

设，若，则实数m=    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

如图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是    ，方差是    ．

15. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是    ．

16. 难度：中等

若函数在区间（-2，-1）上恒有f（x）＞0，则关于t的不等式f（8^t-1）＞f（1）的解集为    ．

17. 难度：中等

如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若+=2，则与的夹角等于    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n、a_n、成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列{C_n}的前项和T_n．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

21. 难度：中等

函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e为自然数的底数）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（II） 若对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-1．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线交于A，B两点，记直线AF，BF的斜率之和为m．求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．