2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷19（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知两非零向量，，则“•=||||”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²-2ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=|x|-2ln|x|
D．f（x）=|x|-ln|x|

4. 难度：中等

已知数列{a_n} 的前n项和S_n=3ⁿ-2，n∈N^*，则（ ）
A．{a_n}是递增的等比数列
B．{a_n}是递增数列，但不是等比数列
C．{a_n}是递减的等比数列
D．{a_n}不是等比数列，也不单调

5. 难度：中等

若圆x²+y²-4x+2my+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞-6
B．m＞2或-6＜m＜-1
C．m＞2或-6＜m＜-2
D．m＞3或m＜-1

6. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤1005
B．i＞1005
C．i≤1006
D．i＞1006

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，若z=y-ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，则a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

9. 难度：中等

如图，F₁，F₂是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+=（ ）
A．2011
B．2012
C．2013
D．2014

二、填空题

11. 难度：中等

已知展开式（x-1）⁶=a+a₁x+…+a₆x⁶，则a+a₆的值为    ．

12. 难度：中等

函数的最小正周期为    ．

13. 难度：中等

如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

连接抛物线y²=4x的焦点F与点M（0，1）所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积为    ．

15. 难度：中等

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．令（n∈N^*），记数列{b_n}的前n项和为T_n，对任意的n∈N^*，不等式T_n＜恒成立，则实数m的最小值是    ．

16. 难度：中等

某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为    分．

17. 难度：中等

若不等式-1＜ax²+bx+c＜1的解集为（-1，3），则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）设E为AB的中点，已知△ABC的面积为15，求CE的长．

19. 难度：中等

现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E．
（Ⅰ）求证：CE⊥BD；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C-EG-D的余弦值．

21. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F，G，H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设，（λ≠0）．
（Ⅰ）求直线EP与GQ的交点M的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过圆x²+y²=r²（0＜r＜2）上一点N作圆的切线与轨迹Γ交于S，T两点，若，试求出r的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数g（x）=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？