2013年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|-3＜x＜2}，B{x∈R|x≤1或x≥3}，则A∩B=（ ）
A．（-3，1]
B．（-3，1）
C．[1，2）
D．（-∞，2）∪[3，+∞）

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x²+2ax+b²=0有两个不相等的实根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）

A．-10
B．-3
C．4
D．5

5. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a_n=-4n+5，等比数列{b_n}的公比q满足q=a_n-a_n-1（n≥2），且b₁=a₂，则|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（ ）
A．1-4ⁿ
B．4ⁿ-1
C．
D．

6. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则2^3x-y的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC=    ，△ABC的面积S=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=10^x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为    ．

11. 难度：中等

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为    ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m²，则h=    m．

13. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为    ；渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（I）求的值；
（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

16. 难度：中等

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且S₅=30，a₁+a₆=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和公式．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC上的点且为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：PH⊥BC；
（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．

18. 难度：中等

已知函数，其中a为正实数，是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若（O为坐标原点），求证：直线l与圆相切．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l₁，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．