2013年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数 i•（1-i）=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（ ）
A．-1
B．1
C．-3
D．3

3. 难度：中等

给定函数：①y=x²；②y=2^x；③y=cosx；④y=-x³，其中奇函数是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

4. 难度：中等

若双曲线的离心率是2，则实数k=（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（ ）

A．k≤10
B．k≤16
C．k≤22
D．k≤34

6. 难度：中等

对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（ ）
A．m⊥n，n∥α
B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α
D．m⊥n，n⊥β，β⊥α

7. 难度：中等

已知函数f（x）=e^|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（-1，0）
D．（-∞，-1）

8. 难度：中等

已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6-a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

二、填空题

9. 难度：中等

已知直线l₁：x-3y+1=0，l₂：2x+my-1=0．若l₁∥l₂，则实数m=    ．

10. 难度：中等

如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则     ． （填入：“＞”，“=”，或“＜”）

11. 难度：中等

在△ABC中，BC=2，，，则AB=    ；△ABC的面积是    ．

12. 难度：中等

设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x²+y²=1有公共点的概率是    ．

13. 难度：中等

已知命题p：函数y=（c-1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x²-x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是    ；点Q（x+y，x-y）构成的区域的面积是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n．证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若，求x₂；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

17. 难度：中等

如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

18. 难度：中等

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．

19. 难度：中等

如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知集合S_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数
对于（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，定义：b_i=g（a_i-a₁）+g（a_i-a₂）+…+g（a_i-a_i-1），i∈{2，3，…，n}，b₁=0，称b_i为a_i的满意指数．排列b₁，b₂，…，b_n为排列a₁，a₂，…，a_n的生成列．
（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；
（Ⅱ）证明：若a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n为S_n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于S_n中的排列a₁，a₂，…，a_n，进行如下操作：将排列a₁，a₂，…，a_n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．