2009年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，若A={x|＞0}，则∁_UA为（ ）
A．{x+≤0}
B．{x|＜0}
C．{x|x＜0}
D．{x|x≤0}

2. 难度：中等

采用系统抽样方法从编号为1-50的50名同学中选取5名同学做一个问卷调查，则确定所选取的5个同学的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25
B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5
D．2，4，8，16，22

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为2，且a₁+a₃=5，则a₂+a₄的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25

4. 难度：中等

二项式（1+i）¹⁰（其中i²=-1）展开的第三项的虚部为（ ）
A．45
B．-45
C．0
D．-45i

5. 难度：中等

若tanα=2，则sinαcosα的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是4，动点（x，y）在该区域内，则x+2y的最小值为（ ）
A．6
B．-2
C．0
D．-4

7. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁如图所示，则直线B₁D和CD₁所成的角为（ ）
A．60
B．45°
C．30°
D．90°

8. 难度：中等

若定义域为[2a-1，a²+1]的函数f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函数，则点（a，b）的轨迹是（ ）
A．一个点
B．两个点
C．线段
D．直线

9. 难度：中等

若椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx²的焦点坐标为（ ）
A．（，0）
B．（，0）
C．（0，）
D．（0，）

10. 难度：中等

用四种不同颜色给一个三棱锥的六条棱涂色，其中该三棱锥的六条棱互不相等，只有异面的两条棱才能涂同色，且四种颜色可以不都用，则不同的涂色方案有（ ）
A．48种
B．72种
C．96种
D．120种

11. 难度：中等

如图，已知正三棱锥A-BCD侧面的顶角为40°，侧棱长为a，动点E、F分别在侧棱AC、AD上，则以线段BE、EF、FB长度和的最小值为半径的球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．4πa³

12. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2sin²x在点（）处的切线为l，则直线l、曲线f（x）以及直线x=所围成的区域的面积为（ ）
A．
B．1-
C．
D．2-

二、填空题

13. 难度：中等

已知△ABC中，AB=2，AC=，∠B=60°，则∠A的度数为    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=则f（x）＞1的解集为    ．

15. 难度：中等

已知x、y的取值如下表：

x	2	3	4	5
y	2.2	3.8	5.5	6.5

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为    ．

16. 难度：中等

如图是求数列a_n=f（n）前10项中最大项的程序框图，①，②处分别应该填上    ，    ．

三、解答题

17. 难度：中等

一台仪器每启动一次出现一个6位的二进制数a₁a₂a₃a₄a₅a₆恒为1，a_i和a_j（i≠j，i，j∈{2，3，4，5，6}）之间出现1或0是相互独立的，且a_i出现1的概率为，出现0的概率为设X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆，当启动仪器一次时．
（I）求X=4的概率；
（II）求X的期望．
[注：E（ax+b）=aex+b]．

18. 难度：中等

已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示．
（I）若DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，求证：AC⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小．

19. 难度：中等

平面内动点M（x，y），=（x-2，），=（x+2，）且•=0
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且
①求k的值；
②若点N（，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

20. 难度：中等

已知两数列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），满足且
（I）求证：a_n＞b_n
（II）求证：数列{a_n}的单调递减且．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=，函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内是增函数，且h′（x）义域内存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′（x）=，试比较x₁与x的大小，并说明理由．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙D和BC切于D，且与AB、AC相交于E、F，连结DF．
（I）求证：EF∥BC；
（II）求证：DF²=AF•BE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．
（1）求圆心C到直线l的距离；
（2）若直线l被圆C截的弦长为的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=x²-2x，实数|x-a|＜1．求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．