2013年山东省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足（z-3）（2-i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A．2+i
B．2-i
C．5+i
D．5-i

2. 难度：中等

已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．9

3. 难度：中等

已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（-1）=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

过点（3，1）作圆（x-1）²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y-3=0
B．2x-y-3=0
C．4x-y-3=0
D．4x+y-3=0

10. 难度：中等

用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243
B．252
C．261
D．279

11. 难度：中等

抛物线C₁：的焦点与双曲线C₂：的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为    ．

14. 难度：中等

在区间[-3，3]上随机取一个数x使得|x+1|-|x-2|≥1的概率为    ．

15. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=    ．

16. 难度：中等

定义“正数对”：ln⁺x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+2．
其中的真命题有    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A-B）的值．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D-GH-E的余弦值．

19. 难度：中等

甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且（λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^※）求数列{c_n}的前n项和R_n．

21. 难度：中等

设函数．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

22. 难度：中等

椭圆C：的左右焦点分别是F₁，F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．