2013年江苏省高考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=3sin（2x+）的最小正周期为    ．

2. 难度：中等

设z=（2-i）²（i为虚数单位），则复数z的模为    ．

3. 难度：中等

双曲线的两条渐近线方程为    ．

4. 难度：中等

集合{-1，0，1}共有    个子集．

5. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是    ．

6. 难度：中等

抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：

运动员	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	93
乙	89	90	91	88	92

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为    ．

7. 难度：中等

现在某类病毒记作X_mY_n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为    ．

8. 难度：中等

如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA₁的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V₁，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的体积为V₂，则V₁：V₂=    ．

9. 难度：中等

抛物线y=x²在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=，若=λ₁+λ₂（λ₁，λ₂为实数），则λ₁+λ₂的值为    ．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x²-4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d₁，F到l的距离为d₂，若d₂=，则椭圆C的离心率为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为    ．

14. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}中，，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|-|=，求证：⊥；（2）设c=（0，1），若+=c，求α，β的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

19. 难度：中等

设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．记，n∈N^*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差数列，证明：c=0．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．