2013年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{-1，0}
C．{0，1}
D．{-1，0，1}

2. 难度：中等

在复平面内，复数（2-i）²对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e^x关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A．e^x+1
B．e^x-1
C．e^-x+1
D．e^-x-1

6. 难度：中等

若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

直线l过抛物线C：x²=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A．
B．2
C．
D．

8. 难度：中等

设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x，y），满足x-2y=2，求得m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于    ．

10. 难度：中等

若等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃+a₅=40，则公比q=    ；前n项和S_n=    ．

11. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=    ，AB=    ．

12. 难度：中等

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是    ．

13. 难度：中等

向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=    ．

14. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．

16. 难度：中等

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

18. 难度：中等

设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

19. 难度：中等

已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

20. 难度：中等

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n），写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．