2013年四川省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x²-4=0}，则A∩B=（ ）
A．{-2}
B．{2}
C．{-2，2}
D．∅

2. 难度：中等

如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）

A．A
B．B
C．C
D．D

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的直观图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B
B．￢p：∀x∉A，2x∉B
C．￢p：∃x∉A，2x∈B
D．￢p：∃x∈A，2x∉B

5. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga-lgb的不同值的个数是（ ）
A．9
B．10
C．18
D．20

9. 难度：中等

节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x，y）使得f（f（y））=y，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e]
B．[e^-1-1，1]
C．[1，e+1]
D．[e^-1-1，e+1]

二、填空题

11. 难度：中等

二项式（x+y）⁵的展开式中，含x²y³的项的系数是    （用数字作答）．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=    ．

13. 难度：中等

设sin2α=-sinα，，则tan2α的值是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是    ．

15. 难度：中等

设P₁，P₂，…P_n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P₁，P₂，…P_n的距离之和最小，则称点P为P₁，P₂，…P_n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是    （写出所有真命题的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=8，且a₄为a₂和a₉的等比中项，求数列{a_n}的首项，公差及前n项和．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且
（1）求cosA的值；
（2）若，求向量在方向上的投影．

18. 难度：中等

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．
（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A-A₁M-N的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

21. 难度：中等

已知函数，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．
（I）指出函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．