2013年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={3，a²}，集合B={0，b，1-a}，且A∩B={1}，则A∪B=（ ）
A．{0，1，3}
B．{1，2，4}
C．{0，1，2，3}
D．{0，1，2，3，4}

2. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1-i
B．1+i
C．
D．

3. 难度：中等

为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（ ）
A．3000
B．6000
C．7000
D．8000

4. 难度：中等

已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

5. 难度：中等

下列曲线中离心率为的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A．a•b=0
B．a+b=0
C．a²+b²=0
D．a=b

7. 难度：中等

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．29π
B．30π
C．
D．216π

8. 难度：中等

若m是一个给定的正整数，如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a与b对m校同余，记作a≡b[mod（m）]，例如1≡13[mod（4）]，若2²⁰¹²≡r[mod（7）]，则r可能为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

二、填空题

9. 难度：中等

函数的定义域是    ．

10. 难度：中等

右面是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为8时，则其输出的结果是    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足，且目标函数z=3x+y的最小值为5，则c的值为    ．

12. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知，设，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=e所围成的封闭图形的面积为    ．

14. 难度：中等

在极坐标中，已知点P为方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲线上一动点，，则|PQ|的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

17. 难度：中等

某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的卡片各两张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字
（1）求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率．

18. 难度：中等

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0）．
（Ⅰ）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

19. 难度：中等

f（x）对任意x∈R都有．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令．试比较T_n与S_n的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．