2012-2013学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={x|x＞1}，Q={x|2x-1＞0}，则下列结论正确的是（ ）
A．P=Q
B．P∪Q=R
C．P⊆Q
D．Q⊆P

2. 难度：中等

若复数Z满足（Z-i）i=2+i（i为虚数单位），则Z等于（ ）
A．-1-I
B．1-i
C．-1+3i
D．1-2i

3. 难度：中等

“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为（ ）

A．4
B．
C．5
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形

6. 难度：中等

若定义域为R的函数f（x）不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，f（-x）≠-f（x）
B．∀x∈R，F（-x）=f（x）
C．∃x∈Rf（-x）=f（x）
D．∃x∈R，f（-x）≠-f（x）

7. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域为Ω，不等式组表示的平面区域为M．若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域M内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，矩形A_nB_nC_nD_n的一边A_nB_n在x轴上，另外两个顶点C_n，D_n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B_n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N₊），记矩形A_nB_nC_nD_n的周长为a_n，则a₂+a₃+…+a₁₀=（ ）

A．208
B．212
C．216
D．220

二、填空题

9. 难度：中等

已知sinα=，则cos（π-2α）=    ．

10. 难度：中等

已知||=1，||=2，且+=与垂直，则向量与的夹角大小是    ．

11. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是    ．

12. 难度：中等

设函数则函数g（x）=f（x）-log₄x的零点个数为    ．

13. 难度：中等

若抛物线y²=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为    ．

14. 难度：中等

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（a＜b），使得 {y|y=f（x）．x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列三个函数：①f（x）=x³；②f（x）=cosx；③f（x）=e^x．其中存在稳定区间的函数有    ．（写出所有正确的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+2cos（x+）（x∈[-6，-]）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

组别	候车时间	人数
一	[0，5）	2
二	[5，10）	6
三	[10，15）	4
四	[15，20）	2
五	[20，25]	1

（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；
（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=BE=2，AB=2．
（Ⅰ）求证：AE⊥CE；
（Ⅱ）设M是线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N₊）时，f（x）的值中所有整数值的个数记为g（n）．
（Ⅰ）求g（2）的值，并求g（n）的表达式；
（Ⅱ）设a_n=（n∈N₊），求数列{（-1）^n-1a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N₊），若对任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，求L的最小值．