2012年广东省肇庆市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z₁=1-i，z₂=3+i，则复数z=z₁•z₂在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合M={x|x-1＜0}，N={x|x²-5x+6＞0}，则M∩N=（ ）
A．{x|x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞3}
D．∅

3. 难度：中等

命题“∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3＜0”的否定是（ ）
A．∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3＜0
B．∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3≥0
C．∀（x，y），x∈R，y∈R，2x+3y+3≥0
D．∀（x，y），x∈R，y∈R，2x+3y+3＞0

4. 难度：中等

某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）

A．0.67（小时）
B．0.97（小时）
C．1.07（小时）
D．1.57（小时）

5. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（1-x）+lg（1+x），g（x）=lg（1-x）-lg（1+x），则（ ）
A．f（x）与g（x）均为偶函数
B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数
D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

6. 难度：中等

已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（ ）
A．1
B．
C．5
D．

7. 难度：中等

已知四棱锥V-ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，VA⊥平面ABCD，且VA=4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是（ ）
A．12
B．24
C．27
D．36

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-3y的最大值是（ ）
A．-6
B．-1
C．4
D．6

9. 难度：中等

已知函数y=f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y=f（x）的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

观察如图，可推断出“x”应该填的数字是（ ）

A．171
B．183
C．205
D．268

二、填空题

11. 难度：中等

高三某班学生每周用于数学学习的时间x（单位：小时）与数学成绩y（单位：分）之间有如下数据：

x	24	15	23	19	16	11	20	16	17	13
y	92	79	97	89	64	47	83	68	71	59

根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是    ； 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5，若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩是    分（结果保留整数）．

12. 难度：中等

已知椭圆的方程是（a＞5），它的两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=8，弦AB（椭圆上任意两点的线段）过点F₁，则△ABF₂的周长为    ．

13. 难度：中等

如果实数x，y满足等式（x-2）²+y²=3，那么的最大值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，直线ρ（sinθ-cosθ）=2被圆ρ=4sinθ截得的弦长为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5，
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）设，证明数列{b_n}是等比数列．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求a的值；
（2）求sin（2A-B）的值．

18. 难度：中等

2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年．为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：
（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（1）求此四棱锥的体积；
（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．

20. 难度：中等

已知圆C与两圆x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x₁，y₁），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），
（Ⅰ）若f（1）=0且对任意实数均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表达式；
（Ⅱ）在（1）在条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，证明F（m）＞-F（n）．