2011-2012学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|-x²-3x＞0}，B={x|x＜-1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x＞0}
B．{x|-3＜x＜-1}
C．{x|-3＜x＜0}
D．{x|x＜-1}

2. 难度：中等

已知直线l过定点（-1，1），则“直线l的斜率为0”是“直线l与圆x²+y²=1相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
C．α∩β=m，n⊥β且α⊥β，则n⊥α
D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

4. 难度：中等

甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ ）

A．（30，42]
B．（42，56]
C．（56，72]
D．（30，72）

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．112
B．80
C．72
D．64

7. 难度：中等

已知约束条件若目标函数z=x+ay（a≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜
B．a≥
C．a＞
D．0＜a＜

8. 难度：中等

如图，半径为2的⊙○切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙○于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若复数（1+ai）（2+i）=3-i，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若，∠APB=30°，则AE=    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，则边c=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C₁、C₂
有公共点，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

14. 难度：中等

把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如右图所示的数表，第k行有2^k-1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为A（k，s），则这个数可记为A（    ）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
（2）若A为锐角△ABC的内角，求f（A）的取值范围．

16. 难度：中等

某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：

培训次数	1	2	3
参加人数	5	15	20

（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；
（2）从40人中任选两名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，，E是线段AB的中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C-DE-F的余弦值为？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知函数：，
（1）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜1时，若存在，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点，A点到抛物线焦点的距离为1．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x，y）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x+2，-y）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．

20. 难度：中等

直线相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（1）当k=2时，求点P₁，P₂，P₃的坐标并猜出点P_n的坐标；
（2）证明数列{x_n-1}是等比数列，并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）比较的大小．