2012年广东省肇庆市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x-5）+（3-x）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，5）
B．（5，+∞）
C．（3，+∞）
D．（3，5）

2. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，集合N满足N⊆M，则集合N的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

3. 难度：中等

已知函数f（x）=lgx的定义域为M，函数y=的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．（0，1）
B．（2，+∞）
C．（0，+∞）
D．（0，1）∪（2，+∞）

4. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+x+m有零点”的（ ）条件．
A．充分非必要
B．充要
C．必要非充分
D．非充分必要

5. 难度：中等

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

6. 难度：中等

已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（ ）
A．1
B．
C．5
D．

7. 难度：中等

已知x，y满足，则z=2x-y的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

设M为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数λ和向量a∈M，都有λa∈M，则称M为“点射域”，则下列平面向量的集合为“点射域”的是（ ）
A．{（x，y）|y≥x²}
B．
C．{（x，y）|x²+y²-2y≥0}
D．{（x，y）|3x²+2y²-12＜0}

二、填空题

9. 难度：中等

|x|²-2|x|-15＞0的解集是    ．

10. 难度：中等

在的展开式中常数项为    （用数字作答）．

11. 难度：中等

某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示．若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有    人．

12. 难度：中等

短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F₁，F₂，过F₁作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF₂的周长为    ．

13. 难度：中等

如果实数x，y满足等式（x-2）²+y²=1，那么的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，点P是⊙O外一点，PD为⊙O的一切线，D是切点，割线经过圆心O，若∠EFD=30°，，则PE=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（I）求{a_n}的通项a_n；
（II）设，，求T=log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃+…+log₂b_n的值．

17. 难度：中等

2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，某地公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：
（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值．

18. 难度：中等

已知△ABC的面积为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，0＜C＜90°．
（1）求sin（A+B）的值；   
（2）求的值；
（3）求向量的数量积．

19. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，BC=2，AC=2，AB=2，AA₁=A₁C=．
（Ⅰ） 求侧棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的长度．
（Ⅱ） 设AC的中点为D，证明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ） 求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知圆C与两圆x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x₁，y₁），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，求证F（x₂）＞．