2012年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-
B．-
C．
D．

2. 难度：中等

等比数列{a_n}中，已知a₂=2，a₆=8，则a₄=（ ）
A．±4
B．4
C．-4
D．16

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=x³
B．y=cos
C．y=tan
D．y=ln|x|

4. 难度：中等

甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s₁＜s₂
B．，s₁＞s₂
C．，s₁＞s₂
D．，s₁=s₂

5. 难度：中等

在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos2B=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

7. 难度：中等

方程 log₃x+x-3=0 的解所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

8. 难度：中等

已知过点（1，2）的二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，给出下列论断：①abc＞0，②a-b+c＜0，③b＜1，④．其中正确论断是（ ）

A．①③
B．②④
C．②③
D．②③④

二、填空题

9. 难度：中等

的展开式的常数项是    （用数字作答）

10. 难度：中等

将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为    ．

11. 难度：中等

若平面区域是一个梯形，则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若双曲线=1的渐近线与方程为（x-2）²+y²=3的圆相切，则此双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

按下列程序框图运算：若输入x=5，则输出k=    ；若输出k=3，则输入x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（选做题）（几何证明选讲）如图，正△ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM=    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，过极点的一条直线l与圆相交于O，A两点，且∠AOX=45°，则OA=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知f（x）=2sin（），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=b_n+a_2ⁿ，求{b_n}的通项公式．

17. 难度：中等

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
（Ⅰ）填充上表；
（Ⅱ）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列．

日销售量	1	1.5	2
频数	10	25	15
频率	0.2

18. 难度：中等

如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=．
（1）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

20. 难度：中等

如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB的长为lmm，曲柄CB的长为rmm，l＞r．
（1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A的距离为AA=110mm，求cosθ的值；
（2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l、r、θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA）

21. 难度：中等

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和≤M（i=1，2，…，n）恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．