2012-2013学年北京市东城区普通校高三（下）3月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

2. 难度：中等

极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是（ ）
A．（x-2）²+y²=4
B．x²+y²=4
C．x²+（y-2）²=4
D．（x-1）²+（y-1）²=4

3. 难度：中等

平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

4. 难度：中等

执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ）

A．a≥2
B．a≥3
C．a≥4
D．a≥5

5. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

6. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是．（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

8. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在的展开式中，含项的系数是    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有    个．

11. 难度：中等

从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a=    ，由图中数据可知此次成绩平均分为    ．

12. 难度：中等

已知平面区域，，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为    ．

13. 难度：中等

如图，F₁和F₂分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是    ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，a=5，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求
（Ⅰ）摸出3个白球的概率；
（Ⅱ）摸出至少两个白球的概率；
（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由．

18. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．

20. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a₂₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0≤k≤19的整数k，数列确定．记．
（I）当k=1时，求M的值；
（II）求M的最小值及相应的k的值．