2013年安徽省阜阳一中高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x|y=log₂（x-3）}，，则下列选项正确的是（ ）
A．P=Q
B．P∩Q=∅
C．PQ
D．QP

2. 难度：中等

已知f（x）的图象在[a，b]上连续，则“f（a）•f（b）＜0”是“f（x）在（a，b）内有零点”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2^x+2x+b（b为常数），则f（-1）=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

5. 难度：中等

若非零向量，满足，且，则向量，的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+3a₈+a₁₅=120，则2a₉-a₁₀的值为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．-8

7. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，mα，则n∥α
B．若m∥n，mα，nβ，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

8. 难度：中等

直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）在上R恒有，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，1）
C．（-1，1）
D．（-∞，1）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对

二、填空题

11. 难度：中等

已知i是虚数单位，a为实数，且复数在复平面内对应的点在虚轴上，则a=    ．

12. 难度：中等

空间直角坐标系中，已知点P（2，-3，1），P点关于xoy平面的对称点为P_°，则|PP_°|=    ．

13. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=31，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

下列命题中正确命题的序号是：   
①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b一定异面；
②∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ；
③∀x＞0，都有ln⁶x+ln³x+1＞0；
④∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减；
⑤∀ϕ∈R，函数y=sin（2x+ϕ）都不是偶函数．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b，
（1）若f（x）＜0的解集是（-5，2），求a，b的值；
（2）若a=b，解关于x的不等式f（x）＞0．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，E为PC中点，
（1）求证：AD⊥PC；
（2）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40km处，受影响的范围是半径为20km的圆形区域．已知港口B位于台风中心正北30km处．
（1）建立适当的坐标系，写出直线AB的方程；
（2）如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？（不考虑台风中心的移动）

19. 难度：中等

A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边，已知，，且∥，B为锐角，
（1）求B的大小；
（2）如果b=3，求△ABC的面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n），（n∈N₊）都在函数y=f（x）的图象上，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）令，证明：，n∈N₊．

21. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=ax-lnx，，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．