2013年北京市高考数学压轴卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁，z₂在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（-1，3），则=（ ）
A．1+i
B．i
C．1-i
D．-i

2. 难度：中等

已知=（ ）
A．∅
B．（-∞，0）
C．
D．（）

3. 难度：中等

下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，x²+2x+2≤0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R，sin²x+cos²x=1

4. 难度：中等

设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

5. 难度：中等

执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α
B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α

7. 难度：中等

如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（ ）
A．
B．3
C．
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₅=32，a₇-a₃=8，则此数列的前10项和S₁₀=    ．

10. 难度：中等

若，且，则与的夹角是    ．

11. 难度：中等

已知，则=    ．

12. 难度：中等

已知函数，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=    ．

13. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），且x∈（-2，0）时，，则f（2013）=    ．

14. 难度：中等

下列命题：
（1）若函数为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
（4）对于函数，若0＜x₁＜x₂，则．
以上命题为真命题的是    ．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）

三、解答题

15. 难度：中等

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若，证明：△ABC为等边三角形．

16. 难度：中等

某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：

	第一批次	第二批次	第三批次
女教师	86	x	y
男教师	94	66	z

已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．
（Ⅰ）求x，y，z的值；
（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1：60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？
（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．

17. 难度：中等

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a_n}前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a_n}前2013项中剩余项的和．

18. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．