2013年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x²＜4}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2＜x＜2}
C．{x|x＞1}
D．{x|1＜x＜2}

2. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．.1
B．
C．.-1
D．.-

3. 难度：中等

如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（ ）
A．命题p、q均为假命题
B．命题p、q均为真命题
C．命题p、q中至少有一个是真命题
D．命题p、q中至多有一个是真命题

4. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=x²
B．y=x³
C．y=-
D．y=tan

5. 难度：中等

运行如图的程序框图，输出的结果是（ ）

A．510
B．1022
C．254
D．256

6. 难度：中等

函数f（x）=（x-1）cosx²在区间[0，4]上的零点个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

7. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆的左右焦点，若直线x=ma （m＞1）上存在一点P，使△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜2
B．m＞2
C．1＜m＜
D．m＞

8. 难度：中等

某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．

二、填空题

9. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知，则=    ．

11. 难度：中等

不等式|x²-3x+1|＜1的解集为    ．

12. 难度：中等

已知{a_n}的前n项之和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1，则S_n=    ．

13. 难度：中等

四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有    种．（用数字作答）

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线 交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x与y的值；
（2）由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关？
（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取 3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．（注：概率值可用分数表示）

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

17. 难度：中等

如图，已知平面上直线l₁∥l₂，A、B分别是l₁、l₂上的动点，C是l₁，l₂之间一定点，C到l₁的距离CM=1，C到l₂的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对 边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判断三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥A₁-AB₁E的体积是6．
（1）设P是棱BB₁的中点，证明：CP∥平面AEB₁；
（2）求AB的长；
（3）求二面角B-AB₁-E的余弦值．

19. 难度：中等

已知a＜2，．（注：e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于 原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：，求点R的轨迹方程．

21. 难度：中等

已知x轴上有一列点P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1 P_n+1 作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长度分别 为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n关于n的解析式；
（2 ）证明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）设点P（n，a_n） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y= 的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．