2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z满足，则z的值为    ．

2. 难度：中等

函数的定义域为    ．

3. 难度：中等

若直线l过点A（-1，3），且与直线x-2y-3=0垂直，则直线l的方程为    ．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前10项和为30，则a₁+a₄+a₇+a₁₀=    ．

5. 难度：中等

执行程序框图，则输出的a值是    ．

6. 难度：中等

设a为常数，函数f（x）=x²-4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，直线l：ρcosθ=1被圆C：ρ=4cosθ所截得的线段长为    ．

8. 难度：中等

已知点P（2，-3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是    ．

9. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，已知，点E是BC的中点，则=   

10. 难度：中等

已知A，B，C是球面上三点，且AB=AC=4cm，∠BAC=90°，若球心O到平面ABC的距离为，则该球的表面积为    cm³．

11. 难度：中等

在△ABC中，∠A=120°，AB=5，BC=7，则的值为    ．

12. 难度：中等

已知（n∈N^*）且A_n=a+a₁+a₂+…+a_n，则=    ．

13. 难度：中等

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是    ．

14. 难度：中等

已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

下列命题：
①“”是“存在n∈N^*，使得成立”的充分条件；
②“a＞0”是“存在n∈N^*，使得成立”的必要条件；
③“”是“不等式对一切n∈N^*恒成立”的充要条件．
其中所以真命题的序号是（ ）
A．③
B．②③
C．①②
D．①③

18. 难度：中等

如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x²+λy²=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[-1，1）
B．{-1，0}
C．（-∞，-1]∪[0，1）
D．[-1，0]∪（1，+∞）

三、解答题

19. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，．
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A₁D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．

20. 难度：中等

已知复数z₁=sinx+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．
（1）若2z₁=z₂i，且x∈（0，π），求x与λ的值；
（2）设复数z₁，z₂在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．

21. 难度：中等

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点．
（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）

22. 难度：中等

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k，k₁，k₂．求证：当k为定值时，k₁+k₂也为定值．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，；当a_n为奇数时，．
（1）若a₁为偶数，且a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（2）设（m＞3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（3）若a₁为正整数，求证：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．