2012年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I={x|-3＜x＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={-2，-1，2}，则A∪（∁_IB）等于（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数的模为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

3. 难度：中等

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则∠B等于（ ）
A．60°
B．30°或150°
C．60°
D．60°或120°

4. 难度：中等

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₁，a₃，a₇为等比数列{b_n}的连续三项，则数列{b_n}的公比为（ ）
A．
B．4
C．2
D．

5. 难度：中等

若函数f（x）=log_mx的反函数的图象过点（-1，n），则3n+m的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
B．若l∥α，α⊥β，则l∥β
C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α
D．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m

7. 难度：中等

在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（ ）
A．有最大值2，无最小值
B．有最小值2，无最大值
C．有最小值，最大值2
D．既无最小值，也无最大值

8. 难度：中等

如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）
A．7.68
B．16.32
C．17.32
D．8.68

9. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函．给出下面三个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③．其中属于有界泛函的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①②③

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线=1的渐近线方程是    ．

12. 难度：中等

运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为    ．

13. 难度：中等

已知向量，满足，，，则=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆心到直线l的距离是     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25^•，则∠D=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且，求的值．

17. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞1”的概率．

18. 难度：中等

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂，且，求此时线段PO的长．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=5，a₅=9．数列{b_n}的前n项和为S_n，且．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和 T_n．

20. 难度：中等

设函数，其中a＞0．
（1）若函数y=f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知平面内一动点 P到定点的距离等于它到定直线的距离，又已知点 O（0，0），M（0，1）．
（1）求动点 P的轨迹C的方程；
（2）当点 P（x，y）（x≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线所得的弦长；
（3）当点 P（x，y）（x≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．