2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-4＜0}，B={0，1，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{0，1，2}
D．∅

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知圆的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A．ρ=2cosθ
B．ρ=2sinθ
C．ρ=-2cosθ
D．ρ=-2sinθ

4. 难度：中等

已知函数，则f[f（-1）]=（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-1

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）

A．16+4
B．12+4
C．8+4
D．4+4

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．2⁵¹-2
B．2⁵⁰-2
C．2⁵¹-1
D．2⁵⁰-1

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

如图，已知AD=5，DB=8，AO=3，则圆O的半径OC的长为    ．

10. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为    ．

11. 难度：中等

若x+1＞0，则x+的最小值为    ．

12. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

奇函数f（x）的定义域为[-2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

对任意两个实数x₁，x₂，定义若f（x）=x²-2，g（x）=-x，则max（f（x），g（x））的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且=，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若CM=，求二面角A-MB₁-C的大小．

17. 难度：中等

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．

18. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

20. 难度：中等

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．记T=a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，，（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．