2013年广东省高考数学押题预测试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，集合B={2，3，4，5，6}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5，6}
C．{2，3，4，5，6}
D．{3，4}

2. 难度：中等

复数z满足z+1=2+i（i为虚数单位），则z（1-i）=（ ）
A．2
B．0
C．1+i
D．i

3. 难度：中等

若，则a=（ ）
A．1
B．32
C．-1
D．-32

4. 难度：中等

在△ABC中，∠A=，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（ ）
A．1
B．
C．2
D．1

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₂+a₃=1，a₄+a₅=2，则a₈+a₉等于（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

6. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），若f（-1）=2，则f（2013）等于（ ）
A．2012
B．2
C．2013
D．-2

7. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（x²-a_nx+b_n），其中a_n，b_n的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x-2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（ ）
A．p∧q为真命题
B．p∨q为假命题
C．￢p∧q为假命题
D．￢p∨q为真命题

二、填空题

9. 难度：中等

点P是圆x²+y²+2x-3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为    ．

10. 难度：中等

某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：

x	10	20	30	40	50
y	62		75	81	89

由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为    ．

11. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=mx+y仅在点（3，1）处取得最大值，则m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=    ．

13. 难度：中等

已知点A是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C₁的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，直线与圆ρ=2cosθ相交的弦长为    ．

15. 难度：中等

如图圆上的劣弧所对的弦长CD=，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB=2，则线段AC的长度为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若，求tanα的值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为．
（1）求P．  
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE
（1）当平面A₁DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A₁CE所成角的正弦值；
（2）设M为线段A₁C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．

19. 难度：中等

已知各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

20. 难度：中等

如图，已知点M（x，y）是椭圆C：=1上的动点，以M为切点的切线l与直线y=2相交于点P．
（1）过点M且l与垂直的直线为l₁，求l₁与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
（参考定理：若点Q（x₁，y₁）在椭圆，则以Q为切点的椭圆的切线方程是：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-1，，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．
（1）证明：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）上有零点；
（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；
（3）若数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=a（a＞0）（a为常数），f（a_n+1）=g（a_n），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有a_n≤M．