2013年广东省高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

2. 难度：中等

集合M={x|y=，x，y∈R}，N={y|y=，x，y∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．∅
B．[-1，4]
C．[-1，7]
D．[0，4]

3. 难度：中等

若f（1，1）=1234，f（x，y）=k，f（x，y+1）=k-3，则f（1，2012）=（ ）
A．-4799
B．-6033
C．1235
D．2012

4. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}前n项的乘积，若a₉=1，则下面的等式中正确的是（ ）
A．S₁=S₁₉
B．S₃=S₁₇
C．S₅=S₁₂
D．S₈=S₁₁

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

6. 难度：中等

给出下面结论：
①命题p：“∃x∈R，x-3x+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x²-3x+2＜0”
②函数f（x）=2^x+3x的零点所在区间是（-1，0）；
③函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数图象；
④对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

使“lgm＜1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．m∈（0，+∞）
B．m∈（-∞，10）
C．m∈（0，10）
D．m∈{1，2，3}

8. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的与x轴交点的个数为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10

二、填空题

11. 难度：中等

偶函数y=f（x）当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1，则f（x-1）＜0的解集是    ．

12. 难度：中等

如图所示的程序框图输出的结果为    ．

13. 难度：中等

下列是关于三角形解的个数的说法：
①a=7，b=14，A=30°，一解； 
②a=30，b=25，A=150°，一解；
③c=6，b=9，C=45°，两解；  
④b=9，c=10，B=60°，无解．
其中说法正确的有    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，若等边三角形ABC（顶点A，B，C按顺时针方向排列）的顶点A，B的极坐标分别为（2，），（2，），则顶点C的极坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过p点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=    cm．

三、解答题

16. 难度：中等

已知：函数的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

17. 难度：中等

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

分数段	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
x：y	1：1	2：1	3：4	4：5

18. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）求此几何体的体积．

19. 难度：中等

已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=的零点个数．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}滿足，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：．