2013年上海市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

不等式＜0的解为    ．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄=30，则a₂+a₃=    ．

3. 难度：中等

设m∈R，m²+m-2+（m²-1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=    ．

4. 难度：中等

已知，，则y=    ．

5. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a²+ab+b²-c²=0，则角C的大小是    ．

6. 难度：中等

某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为    ．

7. 难度：中等

设常数a∈R，若的二项展开式中x⁷项的系数为-10，则a=    ．

8. 难度：中等

方程的实数解为    ．

9. 难度：中等

若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x-2y）=    ．

10. 难度：中等

已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=    ．

11. 难度：中等

盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是    （结果用最简分数表示）

12. 难度：中等

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为    ．

13. 难度：中等

设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

函数f（x）=x²-1（x≥0）的反函数为f^-1（x），则f^-1（2）的值是（ ）
A．
B．
C．1+
D．1-

16. 难度：中等

设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，2）
B．（-∞，2]
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）

17. 难度：中等

钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

18. 难度：中等

记椭圆围成的区域（含边界）为Ω_n（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω₁，Ω₂，…上时，x+y的最大值分别是M₁，M₂，…，则M_n=（ ）
A．0
B．
C．2
D．2

三、解答题

19. 难度：中等

如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

20. 难度：中等

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

如图，已知双曲线C₁：，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁-C₂型点“
（1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁-C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁-C₂型点”；
（3）求证：圆x²+y²=内的点都不是“C₁-C₂型点”