2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈N|x²-3x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{3，4，5}
C．{4，5，6}
D．{3，4，5，6}

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂=3，a₃+a₄=9 则a₁a₆的值为（ ）
A．14
B．18
C．21
D．27

3. 难度：中等

某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．-1

4. 难度：中等

已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（ ）
A．f（x）=ax+b
B．f（x）=x²-2ax+1
C．f（x）=a^x
D．f（x）=log_a

5. 难度：中等

不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

命题P：∃α∈R，sin（π-α）=cosα；
命题q：∀m＞0，双曲线-=1的离心率为．
则下面结论正确的是（ ）
A．P是假命题
B．￢q是真命题
C．p∧q是假命题
D．p∨q是真命题

7. 难度：中等

已知曲线f（x）=lnx在点（x，f（x））处的切线经过点（0，1），则x的值为（ ）
A．
B．e²
C．e
D．10

8. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b=    ．

10. 难度：中等

若向量，满足||=||=|+|=1，则• 的值为    ．

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=，则c=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A_t={y|y=f（x）}，点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|}．设M_t，m_t分别表示集合A_t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M_t-m_t．则
（1）若函数f（x）=x，则h（1）=    ；
（2）若函数f（x）=sinx，则h（t）的最小正周期为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2-（sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间[-，]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

在某大学自主招生考试中，所有选报 II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

（ I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（ II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．

18. 难度：中等

函数f（x）=x³-kx，其中实数k为常数．
（I） 当k=4时，求函数的单调区间；
（II） 若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆M：（x-）²+y²=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

20. 难度：中等

设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，Bx_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P（x，y）（x∈Z，Y∈Z）为一个定点，点列{P_i}满足：P_i=i（P_i-1），其中i=1，2，3，…，n，求|PP_n|的最小值．