2013年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数在复平面上的对应点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合A={}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{0}
D．{1}

3. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数的零点所在的区间是（ ）
A．（3，4）
B．（2，3）
C．（1，2）
D．（0，1）

5. 难度：中等

函数的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

	做不到“光盘”	能做到“光盘”
男	45	10
女	30	15

P（K^2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

附：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

8. 难度：中等

具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为（ ）

A．13
B．7+3
C．
D．14

9. 难度：中等

如图所示，在边长为l的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．4
B．
C．
D．-1

11. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

12. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；
④M={（x，y）|y=e^x-2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

在的二项展开式中，常数项等于    ．

14. 难度：中等

直线y=x的任意点P与圆x²+y²-10x-2y+24=0的任意点Q间距离的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的最大值是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是：“∃x∈R，cosx≤0”；
②若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最大值为4；
③定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0；
④已知随机变量ζ服从正态分布N（1，σ²），P（ζ≤5）=0.81，则P（ζ≤-3）=0.19；
其中真命题的序号是    （请把所有真命题的序号都填上）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）若x∈[-2π，2π]，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（I）从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
（Ⅱ）从甲班l0人中取两人，乙班l0人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=PD
（I）求证：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的余弦值为，求的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，设．
（I）求证：数列{c_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）按以下规律构造数列{b_n}，具体方法如下：b₁=c₁，b₂=c₂+c₃，b₃=c₄+c₅+c₆+c₇，…第n项b_n由相应的{c_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n}的通项b_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点（，-1）．

22. 难度：中等

已知函数
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤-e^-4．