2013年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={-1，0，1}，B={0，1，2}，若x∈A，且x∉B，则x等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=8
C．y²=-4
D．y²=4

4. 难度：中等

在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第25项为（ ）
A．2
B．6
C．7
D．8

5. 难度：中等

已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2cm³
D．4cm³

6. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：

	甲	乙	丙	丁
平均成绩	86	89	89	85
方差S^2	2.1	3.5	2.1	5.6

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

7. 难度：中等

已知向量，，，则m=（ ）
A．2
B．-2
C．-3
D．3

8. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x-2y的最大值为（ ）
A．-5
B．-4
C．-2
D．3

9. 难度：中等

生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x²+2x+20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．36万件
B．18万件
C．22万件
D．9万件

10. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生    人．

12. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₄=4，则a₂•a₆等于    ．

13. 难度：中等

执行如图的程序框图，那么输出S的值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

17. 难度：中等

某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
（3.9，4.2]	3	0.06
（4.2，4.5]	6	0.12
（4.5，4.8]	25	x
（4.8，5.1]	y	z
（5.1，5.4]	2	0.04
合计	n	1.00

（I）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

18. 难度：中等

如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求四面体B-CDE的体积．

19. 难度：中等

已知，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）S_n是数列{a_n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．