2013年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z₁=1+i，z₂=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-i
B．i
C．0
D．1

2. 难度：中等

已知全集U=Z，集合A={0，1}，B={-1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{-l，2}
B．{1，0}
C．{0，1}
D．{1，2}

3. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，+∞）

4. 难度：中等

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分l00分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

5. 难度：中等

某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K²=7.069，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．

P（k^2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

A．0.1%
B．1%
C．99%
D．99.9%

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，，则tan（a₆+a₇+a₈）等于（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为（ ）

A．13
B．7+3
C．
D．14

9. 难度：中等

已知圆x²+y²+mx-=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（ ）
A．±
B．
C．
D．±

10. 难度：中等

若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

11. 难度：中等

有下列四个命题：
p₁：∃x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最大值是9；
p₃：直线ax+y+2a-1=0过定点（0，-l）；
p₄：区间是的一个单调区间．
其中真命题是（ ）
A．p₁，p₄
B．p₂，p₃
C．p₂，p₄
D．p₃，p₄

12. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜-l
B．0＜a＜l
C．a≥l
D．a＞1

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为     ．

14. 难度：中等

已知向量=（1，-2），=（x，y），若x，y∈[1，4]，则满足的概率为    ．

15. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是    ．

16. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x²+6x-9．若函数y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，且，求f（2α）的值．

18. 难度：中等

上午7：00～7：50，某大桥通过l00辆汽车，各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如下表：

时段	7：00-7：10	7：10-7：20	7：20-7：30	7：30-7：40	7：40-7：50
通过车辆数	x	15	20	30	y
平均车速（公里/小时）	60	56	52	46	50

已知这100辆汽车，7：30以前通过的车辆占44%．
（I）确定算x，y的值，并计算这100辆汽车过桥的平均速度；
（Ⅱ）估计一辆汽车在7：00～7：50过桥时车速至少为50公里/小时的概率（将频率视为概率）．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为l，公比q≠1，S_n为其前n项和，a_l，a₂，a₃分别为某等差数列的第一、第二、第四项．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1，数列{}的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

如图，五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF=BC．
（I）证明：EO∥面ABF；
（Ⅱ）若EF=EO，证明：平面EFO⊥平面ABE．

21. 难度：中等

设f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

22. 难度：中等

如图，已知椭圆C：的左、右顶点为A、B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l？若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由．