2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合M={x|-2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-2，3）
C．（-2，-1]
D．[-1，3）

3. 难度：中等

已知向量，．若，则实数m的值为（ ）
A．-3
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在下列命题中，
①“”是“sinα=1”的充要条件；
②的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．③
C．②③
D．①③

6. 难度：中等

某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．4
B．
C．
D．8

7. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+1，x∈N^*．若，使f（x）+f（x+1）+…+f（x+n）=63成立，则称（x，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，2a₃-a₂a₄=0，则a₃=    ，{b_n}为等差数列，且b₃=a₃，则数列{b_n}的前5项和等于    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角A为锐角，且b=3asinB，则tanA=    ．

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的结果S=    ．

12. 难度：中等

如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是    ；圆O的半径是    ．

13. 难度：中等

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x²-4x+y²=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．

16. 难度：中等

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

20. 难度：中等

设τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x₁₁=x₁．
（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；
（Ⅱ）求S（τ）的最大值；
（Ⅲ）求使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数．