2009年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：i（1+i）²=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），如果90分以上（含90分）获奖，那么该校参赛学生的获奖率为    ．

4. 难度：中等

已知向量，若，则实数k=    ．

5. 难度：中等

已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为    ．

6. 难度：中等

命题“∃x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为    ．

7. 难度：中等

若tan（α+β）=，tan（β-）=，则tan（α+）=    ．

8. 难度：中等

箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为     ．

9. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是    ．

10. 难度：中等

有下面算法：

则运行后输出的结果是     ．

11. 难度：中等

若椭圆的离心率为，一个焦点恰好是抛物线y²=8x的焦点，则椭圆的标准方程为    ．

12. 难度：中等

某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价收费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了     千米．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足，且t＜a₁＜t+1，其中t＞2，若a_n+k=a_n（k∈N^*），则实数k的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）=2x-9，且f（0）的值为整数，当x∈（n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的值为整数的个数有且只有1个，则n=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，，求AC边的长．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F，G分别为线段AC₁，A₁C₁，BB₁的中点，求证：
（1）平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）EF∥面BCC₁B₁；
（3）GF⊥平面AB₁C₁．

17. 难度：中等

已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．
（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．

18. 难度：中等

如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm²，设该铝合金窗的宽和高分别为a（cm），b（cm），铝合金的透光部分的面积为S（cm²）．
（1）试用a，b表示S；
（2）若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，设．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}中最大项；
（3）求证：对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．