2012-2013学年广东省惠州市高三第二次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数的定义域为集合M，集合N={y|y=x²，x∈M}，则M∩N=（ ）
A．M
B．N
C．[0，+∞）
D．ϕ

2. 难度：中等

已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

4. 难度：中等

若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x-y-3=0
B．x+4y-5=0
C．4x-y+3=0
D．x+4y+3=0

5. 难度：中等

方程x²+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

7. 难度：中等

一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．y=-cos
B．y=sin4
C．y=sin
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（2x+1，4），=（2-x，3），若，则实数x的值等于    ．

10. 难度：中等

已知θ∈，sin θ=，则tan θ=    ．

11. 难度：中等

i是虚数单位，则=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）由表定义：若a=5，a_n+1=f（a_n），n=0，1，2，…，则a₂₀₀₉=   

x	2	5	3	1	4
f（x）	1	2	3	4	5

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
曲线C₁：（θ为参数）上的点到曲线C₂：（t为参数）上的点的最短距离为    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）
已知实数a、b、x、y满足a²+b²=1，x²+y²=3，则ax+by的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积等于1cm²，则△CDF的面积等于    cm²．

三、解答题

16. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=4，．
（Ⅰ）求首项a₁和公比q的值；
（Ⅱ）若，求n的值．

17. 难度：中等

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

18. 难度：中等

一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的正切值．

20. 难度：中等

给定圆P：x²+y²=2x及抛物线S：y²=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D，如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程．

21. 难度：中等

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．