2013年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若￢p∨q是假命题，则（ ）
A．p∧q是假命题
B．p∨q是假命题
C．p是假命题
D．￢q是假命题

2. 难度：中等

下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．y=x-1
B．y=tan
C．y=x³
D．y=log₂

3. 难度：中等

如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=（ ）

A．75°
B．70°
C．60°
D．55°

4. 难度：中等

设平面向量=（1，2），=（-2，y），若∥，则|2-|等于（ ）
A．4
B．5
C．
D．

5. 难度：中等

已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2S_n=a_n+1，则S_n=（ ）
A．2^n-1
B．2ⁿ-1
C．3^n-1
D．

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．9

8. 难度：中等

定义运算，称为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点．则k，m，p，q的值依次是（ ）
A．k=1，m=-2，p=3，q=3
B．k=1，m=3，p=3，q=-2
C．k=-2，m=3，p=3，q=1
D．k=-2，m=1，p=3，q=3

二、填空题

9. 难度：中等

在复平面内，复数i（2-i）对应的点的坐标为    ．

10. 难度：中等

直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=    ．

12. 难度：中等

若展开式中的二项式系数和为64，则n等于    ，该展开式中的常数项为    ．

13. 难度：中等

抛物线C：y²=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为    ，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于    ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，如果对任意的n∈N^*，都有-=λ（λ为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：
①若数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差λ=0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求证：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．

17. 难度：中等

小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．
（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．

18. 难度：中等

已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．
①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
②求证：对任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，a₃…a_k（k≤m）中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c_n}；
（Ⅱ）是否存在数列{c_n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c_n}的个数；若不存在，请说明理由．