2013年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

设m∈R，m²+m-2+（m²-1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=    ．

3. 难度：中等

若=，x+y=    ．

4. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a²+2ab+3b²-3c²=0，则角C的大小是    ．

5. 难度：中等

设常数a∈R，若的二项展开式中x⁷项的系数为-10，则a=    ．

6. 难度：中等

方程+=3^x-1的实数解为    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为    ．

8. 难度：中等

盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是    （结果用最简分数表示）．

9. 难度：中等

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为    ．

10. 难度：中等

设非零常数d是等差数列x₁，x₂，…，x₁₉的公差，随机变量ξ等可能地取值x₁，x₂，…，x₁₉，则方差Dξ=    ．

11. 难度：中等

若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=    ．

12. 难度：中等

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

 在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）²+y²=1（x≥1）和（x-3）²+y²=1（x≥3），两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为    ．

14. 难度：中等

对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f^-1（x），且f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x，则x=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，2）
B．（-∞，2]
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）

16. 难度：中等

钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

17. 难度：中等

在数列（a_n）中，a_n=2ⁿ-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A．18
B．28
C．48
D．63

18. 难度：中等

在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A．m=0，M＞0
B．m＜0，M＞0
C．m＜0，M=0
D．m＜0，M＜0

三、解答题

19. 难度：中等

 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．

20. 难度：中等

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在[-，]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

22. 难度：中等

如图，已知双曲线C₁：，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁-C₂型点“
（1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁-C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁-C₂型点”；
（3）求证：圆x²+y²=内的点都不是“C₁-C₂型点”

23. 难度：中等

给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a₁，a₂，a₃，…满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
（2）求证：对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．