2013年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

1、已知全集∪=R，集合A={x|x²≤4}，B={x|x＜1}，则集合A∪∁_UB等于（ ）
A．{x|x≥-2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|x≥1}
D．R

2. 难度：中等

“a＞1”是“函数f（x）=a^x-2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列直线中，平行于极轴且与圆ρ=2cosθ相切的是（ ）
A．ρcosθ=1
B．ρsinθ=1
C．ρcosθ=2
D．ρsinθ=2

4. 难度：中等

有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有（ ）
A．24种
B．30种
C．36种
D．48种

5. 难度：中等

如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA=AC=AB，则以下结论不正确的是（ ）

A．CB=CP
B．PC•AC=PA•BC
C．PC是圆O的切线
D．BC²=BA•BP

6. 难度：中等

已知P（x，y）是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且的取值范围为（-，），则该双曲线方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

7. 难度：中等

7、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

定义在 R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x+2）的图象关于点（-2，0）成中心对称，若s，t满足不等式组，则当2≤s≤3时，2s+t的取值范围是（ ）
A．[3，4]
B．[3，9]
C．[4，6]
D．[4，9]

二、填空题

9. 难度：中等

若复数，则|z|=    ．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=3，a₄=2，则a₄+a₇+…a_3n+1等于    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若a=2，c=3，tanB=-，则b=    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为    ．

13. 难度：中等

在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量=    ．

14. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+8）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞上的如下函数：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知：函数f（x）=sin²x+cosxcos（-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC′；
（Ⅱ）求证：C′N∥平面ADD′；
（Ⅲ）求二面角A-C′N-C的余弦值．

17. 难度：中等

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x=2的距离是到点F（1，0）的距离的倍．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP与（Ⅰ）中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

对于集合M，定义函数f_M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M⊗N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1．已知A={1，2，3，4，5，6}，B={1，3，9，27，81}．
（Ⅰ）写出f_A（2）与f_B（2）的值，并用列举法写出集合A⊗B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X⊗A）+Card（x⊗b）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P⊗A）⊗（Q⊗B）=A⊗B．