2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为    ．

2. 难度：中等

设集合A={x|x²-2x-3≤0}，B={x|x²-5x≥0}，则A∩（∁_RB）=    ．

3. 难度：中等

设复数z满足|z|=|z-1|=1，则复数z的实部为    ．

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e^x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为    ．

5. 难度：中等

某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为    分钟．

6. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为    ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y²-3x²=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为    ．

8. 难度：中等

若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为    cm．

9. 难度：中等

将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1＜x＜3）的所有零点之和为    ．

11. 难度：中等

设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为    ．

12. 难度：中等

设数列{a_n}满足：，则a₁的值大于20的概率为    ．

13. 难度：中等

设实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅均不小于1，且x₁•x₂•x₃•x₄•x₅=729，则max{x₁x₂，x₂x₃，x₃x₄，x₄x₅}的最小值是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．
（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：
（1）AD∥平面PBC；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

17. 难度：中等

为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．
（每平方米平均综合费用=）．
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

18. 难度：中等

已知函数f （x）=（m-3）x³+9x．
（1）若函数f （x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=r²和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A₁，A₂为圆C与x轴的两个交点，直线MA₁，MA₂与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．

20. 难度：中等

设无穷数列{a_n}满足：∀n∈N^*，a_n＜a_n+1，．记．
（1）若，求证：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差为1的等差数列，问{a_n}是否为等差数列，证明你的结论．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1，求矩阵M的逆矩阵M^-1．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C₁，C₂的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
（2）求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．

25. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为．

26. 难度：中等

设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．
（1）求函数F（x）的单调增区间；
（2）证明|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．